Teorema de Rolle y Teoremas del valor medio

Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio

Teorema de Rolle: Si una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b) y si f(a) = f(b), entonces f’(c) = 0 para al menos un número c en (a,b).

Ejemplos:

1) Sea f(x) = x⁴ - 2x². Demuestra que f satisface la hipotésis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2] y halla todos los números c en el intervalo abierto (-2,2) tal que f’(c) = 0.

Solución: Como f es una función polinómica entonces es continua y derivable para todo valor x. Por tanto, es continua en [-2,2] y derivable en el intervalo (-2,2). Además,

f(-2) = (-2)⁴ - 2(-2)² = 16 - 8 = 8   y,  f(2) = (2)⁴ - 2(2)² = 16 - 8 = 8.  Por lo tanto, f(-2) = f(2) = 8.

Luego, f’(x) = 4x³ - 4x

= 4x(x² - 1)

= 4x(x + 1)(x - 1)

Por lo tanto, c = 0, -1, 1. Así que, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada es cero en esos tres puntos, esto es: f’(0) = 0, f’(-1) = 0 y f’(1) = 0. Gráficamente se puede observar que en los puntos (0,0), (-1,-1) y (1,-1) la recta tangente es horizontal.

2) ¿Se podrá aplicar el teorema de Rolle en f(x) = abs(x) en el intervalo [-2,2]?

Solución: No, porque la función no es derivable en x = 0. No sostiene toda la hipotésis del teorema, por tanto, no se satisface la conclusión.

3) Determina el intervalo para f(x) = x² - 3x + 2 en donde se puede aplicar el teorema de Rolle. Halla el valor c en el intervalo tal que f’(c) = 0. 

Solución: Como f es continua y derivable por ser una función polinómica, entonces el teorema de Rolle garantiza la existencia de al menos un valor c. Para hallar el intervalo se iguala la función a cero y se factoriza. Esto es: 

x² - 3x + 2 = 0

(x - 2)(x - 1) = 0 

x - 2 = 0, x - 1 = 0

x = 2 , x = 1

Por tanto, el intervalo es (1,2). 

Luego, f’(x) = 2x - 3

2x - 3 = 0

2x = 3

x = 1.5

Así que c = 1.5. 

Teorema del valor medio: Si f es una función continua en [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), existe un número c en (a,b) tal que:

Ejemplo: Si f(x) = x³ - 8x - 5, demuestra que f satisface la hipotésis del teorema del valor medio en el intervalo [1,4] y halla un número c en el intervalo abierto (1,4) que satisfaga la conclusión del teorema. 

Solución: Como f es polinómica, es continua y derivable en todos los números reales. 

Entonces, es continua en [1,4] y derivable en el intervalo abierto (1,4). De acuerdo con el teorema existe un número c en el intervalo abierto (1,4), tal que:

Entonces: