Concavidad y puntos de inflexión
La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:
Definición de concavidad
Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, $(A\subseteq D_{f})$, si $f'(x)$ es creciente sobre A. Si $f'(x)$ es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada $f'$ la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.
En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo $]a,b[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]b,c[$
Teorema 5
Si f es una función tal que $f''(x)>0$ cuando $x \in
]a,b[$, entonces la gráfica de fes cóncava hacia arriba sobre $]a,b[$.
Demostración:
Si $f''(x)>0$ y como $f''(x)= D_{x}f'(x)$, entonces se tiene que $f'(x)$ es creciente sobre $]a,b[$ por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función, se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre $]a,b[$.
Teorema 6
Si f es una función tal que $f''(x)<0$ cuando $x \in
]a,b[$, entonces la gráfica de fes cóncava hacia abajo sobre $]a,b[$.
Demostración:
De la hipótesis: $f''(x)<0$, y como $f''(x)_{x}=D_{x}f'(x)$, se obtiene que $f'(x)$ es decreciente sobre $]a,b[$ por lo que según la definición dada sobre concavidad, la gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre $]a,b[$.
Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación $f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}-\displaystyle\frac{x^3}{3}$
Si $f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}-\displaystyle\frac{x^3}{3}$ entonces $f'(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}-x^2$, y, $f''(x)=x^2-2x=x(x-2)$
Luego, $f''(x)>0$ si $x \in ]-\infty,0[ \; \cup \; ]2,+\infty[$ y, $f''(x)<0$ si $x \in ]0,2[$.
Como $f''(x)= D_{x}f'(x)$, entonces $f'$ es creciente en los intervalos$]-\infty,0[\;,\; ]2,+\infty[$, pues en ellos $f''(x)$ es positiva. Además $f'$ es decreciente en el intervalo $]0,2[$ pues en el $f''(x)$ es negativa.
Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo $]-\infty,0[
\; \cup \; ]2,+\infty[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]0,2[$.
La representación gráfica de la función $f'$ es la siguiente:
Representación gráfica de la función $f'$
Observe que $f'$ es creciente en $]-\infty,0[$ y $]2,+\infty[$ y decreciente en $]0,2[$.
Representación gráfica de la función f:
Representación gráfica de la función f
Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos $]-\infty,0[\;,\;\; ]2,+\infty[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]0,2[$.
Damos ahora la definición de punto de inflexión
Definición
Se dice que $(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si existe un intervalo $]a,b[$ tal que $x_{0} \in ]a,b[$, y la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre $]a,x_{0}[$, y cóncava hacia abajo sobre $]x_{0},b[$, o viceversa.
Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:
Ejemplos:
1.
El punto $(0,1)$ es un punto de inflexión de la curva con ecuación $f(x)=x^3+1$, pues $f''(x)=6x$ es positiva si $x>0$, y negativa si $x<0$, de donde f es cóncava hacia arriba para $x>0$, y cóncava hacia abajo para $x<0$.
Gráficamente se tiene:
2.
Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación$f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}+\displaystyle\frac{x^3}{6}-x^2+1$
Se tiene que $f'(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}+\displaystyle\frac{x^2}{2}-2x$ por lo que$f''(x)=x^2+x-2=(x-1)(x+2)$
Resolvamos las desigualdades $f''(x)>0, f''(x)<0$
Como $f''(x)>0$ si $x \in ]-\infty,-2[ \;\cup \; ]1,+\infty[$ entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en esos intervalos.
La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo $]-2,1[$ pues en él $f''(x)<0$.
Luego los puntos $(-2,-3)$ y $\left(1,\displaystyle\frac{1}{4}\right)$ son puntos en los que cambia la concavidad y por tanto son puntos de inflexión.
La gráfica de la función f es la siguiente:
Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo.
En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de inflexión. Gráficamente:
Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella.
Teorema 7
Si $(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de f y si $f''(x_{0})$ existe, entonces $f''(x_{0})=0$
Demostración: Al final del capítulo.
Ejemplo:
Considere la función f con ecuación $f(x)=x^3+x^2+x$.
La segunda derivada de f es $f''(x)=6x+2$.
Note que $f''(x)>0$ si $x>\displaystyle\frac{-1}{3}$, y, $f''(x)<0$ si $x<\displaystyle\frac{-1}{3}$
Luego, f es cóncava hacia arriba para $x>\displaystyle\frac{-1}{3}$, y cóncava hacia abajo para $x<\displaystyle\frac{-1}{3}$
Se tiene entonces que $\left(\displaystyle\frac{-1}{3},
f\left(\displaystyle\frac{-1}{3}\right)\right)$ es un punto de inflexión.
Evaluando la segunda derivada de f en $x=\displaystyle\frac{-1}{3}$ resulta que $f''\left(\displaystyle\frac{-1}{3}\right)=0$ con lo que se verifica lo expresado en el teorema anterior.
En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.
Teorema 8
Si:
i.
f es una función continua sobre un intervalo I,
ii.
$x_{0}$ es un punto interior de I tal que $f''(x_{0})=0$, ó $f''(x_{0})$ existe, y
iii.
Si existe un intervalo $]a,b[$ con $x_{0} \in ]a,b[$, $(]a,b[ \in I)$ tal que:
$f''(x)>0$ cuando $x \in ]a,x_{0}[$ y $f''(x)<0$ cuando $x
\in ]x_{0},b[$, entonces$(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de f.
$f''(x)<0$ cuando $x \in ]a,x_{0}[$ y $f''(x)>0$ cuando $x
\in ]x_{0},b[$, entonces$(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de f.
$f''(x)>0$ cuando $x \in ]a,x_{0}[$ y $f''(x)>0$ cuando $x
\in ]x_{0},b[$, o bien, $f''(x)<0$ cuando $x \in ]a,x_{0}[$ y $f''(x)<0$ cuando $x \in ]x_{0},b]$ entonces$(x_{0},f(x_{0}))$ no es un punto de inflexión de la gráfica de f.
Demostración: Es similar a la dada para el Teorema 4, sustituyendo fpor $f'$, y $f'$ por $f''$.
Ejemplos:
Sea f una función con ecuación $f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}+\displaystyle\frac{x^3}{6}-x^2+x$ con $x \in I \! \! R$. Note que f es una función continua en todo su dominio por ser una función polinomial. La segunda derivada de f es $f''(x)=x^2+x-2$, que es igual a cero si y solo si $x=1$ ó $x=-2$.
Así $f''(-2)=f''(1)=0$
Observemos la solución de las desigualdades $f''(x)>0$, y $f''(x)<0$ por medio de la siguiente tabla:
Como $f''(x)>0$ para $x \in ]-\infty,-2[$ y $f''(x)<0$ para $x
\in ]-2,1[$ entonces $(-2,f(-2))$ es un punto de inflexión según el punto l del Teorema 8.
De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como $f'(x)<0$ para $x
\in ]-2,1[$ y $f''(x)>0$ para $x \in ]1,+\infty[$, entonces $(1,f(1))$ es un punto de inflexión.
Consideraremos ahora la función g con ecuación:
, con $x\geq 1$
Como $f''(x)=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x-1}}$se tiene que $f''(x)$ nunca se hace cero y que $f''(1)$ no existe.
Además $f''(x)$ es mayor que cero para $x \in ]1,+\infty[$, por lo que f siempre es cóncava hacia arriba en su dominio, y por lo tanto $(1,f(1))$ no es punto de inflexión.
) x y la recta y = (1 – 